地方政府部门一直拖延不处理事情该如何应对？

您可以向当地检察机关投诉或向公安行政监督部门举报。根据《中华人民共和国行政诉讼法》等，政府有义务及时处理事务，拖延可能构成行政不作为，影响您的合法权益，甚至导致损失扩大。
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可投诉举报。具体操作：1.收集证据，如书面申请、回复记录等；2.向当地检察机关提交投诉材料，说明情况；3.或向公安行政监督部门举报，附上详细证据；4.跟进处理进度，必要时可寻求法律援助。
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常见的处理方式有投诉与举报两种。选择时，若涉及具体行政行为不作为，可向检察机关投诉；若涉及公安部门，则向公安行政监督部门举报，以确保问题得到针对性解决。